Schwingungsanalyse: Tragstruktur Windenergieanlage

R. Ullmann, Oktober 2015

English article

Um modale Parameter eines Systems, wie die Eigenfrequenzen und die Eigenschwingformen experimentell zu bestimmen, werden Modalanalysen durchgeführt. Dabei ist seit längerer Zeit das sogenannte Forced Vibration Testing (FVT) etabliert, bei dem im Versuch eine künstliche Belastung auf die Struktur aufgebracht wird. Diese Kraft wird zusammen mit der Systemantwort gemessen, wodurch eine Übertragungsfunktion und die entsprechenden modalen Parameter identifiziert werden können.

Problematisch ist dabei, dass im Bauwesen meist große Strukturen vorhanden sind, die nur mit sehr großem Aufwand durch Shaker oder ähnliches angeregt werden können. Daher hat sich in den letzten Jahren mit der Betriebsschwingungsanalyse das sogenannte Ambient Vibration Testing (AVT) etabliert, das, im Gegensatz zum FVT, die natürliche, im Betrieb auftretende, Anregung des Bauwerks zur Modalanalyse verwendet. Das kann auch deshalb als Vorteil angesehen werden, da somit die tatsächlich im Betrieb auftretenden, relevanten Schwingungszustände erfasst werden. Nachteilig ist, dass das Niveau der Anregung meist gering ist, was den Einsatz von sehr sensitiven Sensoren mit einem guten Signal-Rausch-Verhältnis erforderlich macht. ^[1] Vor allem aber kann die Anregung naturgemäß nicht gemessen werden, wodurch nur unskalierte Eigenschwingformen und keine Übertragungsfunktionen identifiziert werden können. Als Messdaten liegt lediglich die Schwingungsantwort vor, die Anregung bleibt zunächst unbekannt und kann nur mittels stochastischer Annahmen berücksichtigt werden.

Die Betriebsschwingungsanalyse kann die Basis für Structural Health Monitoring und die Schadenserkennung beispielsweise an Windkraftanlagen darstellen. Ein Ausblick hierauf ist im letzten Kapitel zu finden.

Grundlagen

Grundsätze der Betriebsschwingungsanalyse

Als grundlegende Systemannahmen werden in der Betriebsschwinganalyse getroffen: ^[2]

• Linearität: Die Systemantwort auf eine zusammengesetzte Belastung kann auch über die Überlagerung der Einzelantworten auf die Teilbelastungen ausgedrückt werden.
• Stationarität: Die dynamischen Eigenschaften des Systems sind zeitunabhängig.
• Beobachtbarkeit: Die Randbedingungen der Messung, wie zum Beispiel die Sensoranordnung, sind so gewählt, dass die Eigenschwingformen, die von Interesse sind, gemessen werden können.

Bei der Betriebsschwingungsanalyse von Windkraftanalagen stellen diese Annahmen oft eine Herausforderung dar, die zusätzliche Überlegungen notwendig macht. Dies wird im letzten Abschnitt kurz umrissen.

Nachdem die Anregung nicht gemessen werden kann und damit unbekannt bleibt, muss die Last von einem probalistischen Standpunkt aus betrachtet werden. Dazu müssen weitere Annahmen getroffen werden, die im nächsten Kapitel beschrieben werden.

Modellierung der Lastannahmen

Die Last kann lediglich über stochastische Prozesse beschrieben werden. Ein stochastischer Vorgang besteht aus einzelnen Realisationen (Versuchsdurchführungen), die zusammen ein sogenanntes Ensemble ergeben. Für den Anregungsprozess werden in der Regel folgende Annahmen getroffen:

• Gauß-Prozess: Die Anregung wird als Überlagerung einer großen Anzahl von stochastischen Prozessen angenommen. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen identisch verteilter Zufallsgrößen über eine Normalverteilung ausreichend beschrieben werden kann. Die zufälligen Eigenschaften des Gauß-Prozesses können damit über eine Verallgemeinerung der Normalverteilung angenähert werden. Liegen mehrere Signale vor, können Gauß-Prozesse vollständig über die Kennwerte zweiter Ordnung, nämlich die Korrelationsfunktion bzw. die Leistungsspektraldichte beschrieben werden. ^[3]
• Stationärer Prozess: Mittelwert und Varianz sind zeitunabhängig. Das bedeutet, für ein beliebiges Zeitfenster, das abgetastet wird, ergibt sich immer derselbe Mittelwert.
• Ergodischer Prozess: Ein ergodischer Prozess liegt vor, wenn der Erwartungswert, der über alle Realisierungen des Ensembles zu einem bestimmten Zeitpunkt ermittelt wurde, gleich dem Mittelwert ist, der über die gesamte Zeit einer einzelnen Realisation berechnet wurde. Ergodische Prozesse müssen zugleich auch stationär sein. Damit genügt es für die Beschreibung des stochastischen Prozesses, lediglich eine Realisierung zu kennen. ^[4]

Für einen stationären und ergodischen Prozess berechnet sich der Mittelwert einer Realisierung $//<![CDATA[ \begin{array}{l}x(t)\end{array} //]]>$ zu:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\mu_x = \lim\limits_{T \rightarrow \infty}{\frac{1}{T}} \int_{0}^{T} x(t)dt\end{array} //]]>$

Brinker ^[3] weist darauf hin, dass in der praktischen Anwendung der Betriebsschwinganalyse der Mittelwert kein verlässlich messbarer Parameter ist, sodass der Mittelwert zu Null angenommen wird.

Die Kovarianz gibt an, inwiefern zwei Signale miteinander korreliert sind, d.h. inwiefern zwei Signale $//<![CDATA[ \begin{array}{l}i\end{array} //]]>$ und $//<![CDATA[ \begin{array}{l}j\end{array} //]]>$ voneinander abhängen. Für stationäre Prozesse ist die Kovarianz lediglich eine Funktion des Zeitversatzes $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\tau\end{array} //]]>$, nicht jedoch der Zeit $//<![CDATA[ \begin{array}{l}t\end{array} //]]>$ selbst:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}C_{ij}(\tau) = E[(x_i(t) - \mu_i)(x_j(t + \tau) - \mu_j)]\end{array} //]]>$

Die Kovarianzfunktion lässt sich über folgende Beziehung in die Korrelationsfunktion überführen:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}C_{ij}(\tau) = R_{ij}(\tau) - \mu_i \mu_j\end{array} //]]>$

Die Korrelation eines Signals mit sich selbst nennt man dabei Autokorrelation, die Korrelation zweier Signale Kreuzkorrelation. Ist der Erwartungswert der Signale jeweils Null, so entspricht die Korrelation der Kovarianz.

Für unkorrelierte Signale, also Signale, die voneinander völlig unabhängig sind, beträgt die Kovarianz - und im Fall $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\mu = 0\end{array} //]]>$ auch die Kreuzkorrelation - für alle Zeitversätze $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\tau\end{array} //]]>$ Null. Im Falle der Autokorrelation eines Signals $//<![CDATA[ \begin{array}{l}i\end{array} //]]>$ mit sich selbst, lässt sich herleiten, dass $//<![CDATA[ \begin{array}{l}R_{ij}\end{array} //]]>$ für $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\tau = 0\end{array} //]]>$ ein Maximum aufweist.

Die Autokorrelation kann über eine Fourier-Transformation in den Frequenzbereich überführt werden. Man erhält damit die sogenannte Leistungsspektraldichte $//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{ij}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{ij}(\tau) e^{-i 2 \pi f t} dt\end{array} //]]>$

Dieser Zusammenhang wird Wiener-Khinchin Beziehung genannt. ^[2]

Alternativ kann die Leistungsspektraldichte auch aus den Fourier-Transformierten des Signals selbst berechnet werden:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}X(f, T) = \int_0^T x (t) e^{-i 2 \pi f t} dt\end{array} //]]>$

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{ij}(f) = \lim\limits_{T \rightarrow \infty}{E [ \frac{1}{T} X^{*} (f, T) X (f, T)]}\end{array} //]]>$

Diese Beziehung wird im Welch-Vorgehen verwendet, um die Leistungsspektraldichten der gemessenen Signale zu berechnen. Näheres dazu in ^[2].

Für die Betriebsschwinganalyse wird als Anregung in der Regel das sogenannte weiße Rauschen angesetzt. Das weiße Rauschen mit Erwartungswert Null enthält alle Frequenzen und weist ein flaches Spektrum auf. Weißes Rauschen ist dadurch gekennzeichnet, dass die Leistungsspektraldichte dieses Prozesses eine über die Frequenzen konstante Funktion ist. Die Autokorrelation weist für $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\tau = 0\end{array} //]]>$ ein Maximum in Form eines Diracstoßes auf, für alle $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\tau \neq 0\end{array} //]]>$ ist sie Null. Zwei Realisationen des weißen Rauschens können damit als unkorreliert betrachtet werden. ^[4]

Die physikalische Anregung wird tatsächlich von der Charakteristik eines weißen Rauschens abweichen. Daher wird gedanklich ein linearer Filter eingeführt, der die spektrale Verteilung der realen Belastung enthält und durch den das weiße Rauschen auf die tatsächlich vorhandene Anregung gefiltert wird. ^[3] Es ergibt sich damit ein kombiniertes System aus zwei Elementen: Das (imaginäre) Anregungssystem wird durch weißes Rauschen belastet und gibt die physikalische Belastung aus, mit der das physikalische System der Tragwerksstruktur belastet wird und die in der Betriebsschwinganalyse gemessene Antwort ausgibt.

Die gemessene Systemantwort kann damit als Antwort des kombinierten Systems, das durch weißes Rauschen belastet ist, aufgefasst werden. Die modalen Eigenschaften des realen strukturellen Systems werden dadurch nicht verändert, allerdings treten durch das Anregungssystem bedingt zusätzliche Moden in der Analyse auf, die separiert werden müssen. ^[2]

Frequenzantwort und klassische Modalanalyse

Das dynamische Verhalten eines Systems lässt sich im Zeitbereich über die sogenannte Bewegungsgleichung ausdrücken:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[M] \ddot{y}(t) + [C] \dot{y}(t) + [K] y(t) = f(t)\end{array} //]]>$

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}y(t)\end{array} //]]>$: Verschiebungsvektor

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\dot{y}(t)\end{array} //]]>$: Vektor der Geschwindigkeiten

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\ddot{y}(t)\end{array} //]]>$: Vektor der Beschleunigungen

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}f(t)\end{array} //]]>$: Vektor der Anregungskräfte

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[M]\end{array} //]]>$: Massematrix

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[C]\end{array} //]]>$: Dämpfungsmatrix

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[K]\end{array} //]]>$: Steifigkeitsmatrix

Es handelt sich dabei um ein System aus gekoppelten Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Die Anzahl der Gleichungen entspricht den Freiheitsgraden des Systems $//<![CDATA[ \begin{array}{l}n_2\end{array} //]]>$.

Eine Entkopplung der Differentialgleichungen kann über die Modalform erfolgen. Grundidee ist dabei, dass jeder Schwingungszustand eines Systems durch eine Kombination seiner Eigenschwingformen ausgedrückt werden kann. Mathematisch bedeutet dies eine Transformation der zeitabhängigen Verschiebungen in einen modalen Koordinatenrahmen $//<![CDATA[ \begin{array}{l}x(t) = [\phi] p(t)\end{array} //]]>$

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[\phi]\end{array} //]]>$: Modalmatrix, in deren Spalten die Eigenvektoren des Systems stehen

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}p(t)\end{array} //]]>$: Modale Koordinaten

Zur Berechnung der Eigenvektoren wird für die homogene Bewegungsgleichung das entsprechende Eigenwert-Problem gelöst und die zugehörigen Eigenvektoren berechnet. Die Matrizen $//<![CDATA[ \begin{array}{l}[M]\end{array} //]]>$ und $//<![CDATA[ \begin{array}{l}[K]\end{array} //]]>$ lassen sich anschließend durch eine Links-Rechts-Multiplikation mit der Modalmatrix diagonalisieren. Zur Diagonalisierung der Dämpfungsmatrix $//<![CDATA[ \begin{array}{l}[C]\end{array} //]]>$ mit den Eigenvektoren des ungedämpften Systems muss eine sogenannte Bequemlichkeitshypothese eingeführt werden. ^[5] Dabei wird eine proportionale Dämpfung angenommen. Im Spezialfall der Rayleigh-Dämpfung lässt sich $//<![CDATA[ \begin{array}{l}[C]\end{array} //]]>$ dabei als Linearkombination der Masse- und Steifigkeitsmatrix ausdrücken. Für den allgemeinen Fall einer viskosen nichtproportionalen Dämpfung ergibt das charakteristische Polynom, das zur Berechnung der Eigenwerte herangezogen wird, $//<![CDATA[ \begin{array}{l}2n_2\end{array} //]]>$ Nullstellen und damit $//<![CDATA[ \begin{array}{l}2n_2\end{array} //]]>$ Eigenvektoren der Dimension $//<![CDATA[ \begin{array}{l}2n_2\end{array} //]]>$. Schon aus Dimensionsgründen kann daher keine Diagonalisierung wie oben beschrieben durchgeführt werden. ^[6] Zur Berechnung wird daher für diesen allgemeinen Fall die Zustandsdarstellung herangezogen (näheres dazu in Natke ^[5]).

Über die Laplace- oder Fourier-Transformation können die Differentialgleichungen in gewöhnliche algebraische Gleichungen überführt werden. Im Falle der Fourier-Transformation lässt sich die Bewegungsgleichung dann im Frequenzraum ausdrücken:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}(- \omega^2 [M] + i \omega [C] + [K]) Y (\omega) = F (\omega)\end{array} //]]>$

Die Matrix der Frequenzantwortfunktionen [H(ω)] lässt aus diesem Ausdruck herleiten zu:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[H (\omega)] = \frac{Y(\omega)}{F(\omega)} = \frac{adj (- \omega^2 [M] + i \omega [C] + [K])}{det (- \omega^2 [M] + i \omega [C] + [K])}\end{array} //]]>$

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[H (\omega)]\end{array} //]]>$ kann dabei über eine Partialbruchzerlegung in eine modale Form gebracht werden: ^[2]

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[H (\omega)] = \sum_{r = 1}^{N_m} \frac{[R_r]}{i \omega - \lambda_r} + \frac{[R_r]^{*}}{i \omega - \lambda_r^{*}} = \sum_{r = 1}^{N_m} \frac{Q_r \phi_r \phi_r^T}{i \omega - \lambda_r} + \frac{Q_r^{*} \phi_r^{*} \phi_r^{*T}}{i \omega - \lambda_r^{*}}\end{array} //]]>$

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}N_m\end{array} //]]>$: Anzahl der Eigenschwingformen des Systems

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\lambda_r\end{array} //]]>$: $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\lambda_r = \sigma_r + i \omega_{d,r}\end{array} //]]>$ Pol, der zur r-ten Mode gehört. Der Imaginärteil entspricht dabei der gedämpften Eigenfrequenz, der Realteil enthält den Dämpfungsgrad $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\xi = - \sigma_r / \sqrt{\sigma_r^2 + \omega_{d,r}^2}\end{array} //]]>$

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\phi_r\end{array} //]]>$: Eigenschwingform der r-ten Eigenmode

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}Q_r\end{array} //]]>$: Modaler Skalierungsfaktor

Im Falle einer experimentellen Modalanalyse (FVT) kann [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}H(\omega)\end{array} //]]>$] bestimmt werden. Wie in der obigen Gleichung ersichtlich, können daraus in einem zweiten Schritt die modalen Parameter bestimmt werden. Im Rahmen einer Betriebsschwinganalyse bleibt die Matrix der Frequenzantwortfunktionen aufgrund der unbekannten stochastischen Anregung zunächst unbestimmt. [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}H(\omega)\end{array} //]]>$] wird daher im nächsten Kapitel zur messbaren Leistungsspektraldichte weiterentwickelt.

Zusammenhang Leistungsspektraldichte und Frequenzantwortfunktion

Die Matrix der Leistungsspektraldichten der Antwort kann mit der der Leistungsspektraldichten der Anregung und den Frequenzantwortfunktionen in folgenden Zusammenhang gebracht werden. ^[1]

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[S_{yy}(\omega)] = [H(\omega)]^{*} [S_{FF}(\omega)]^T\end{array} //]]>$

Nachdem mit der Annahme des weißen Rauschens die Anregung in den einzelnen Punkten als unkorreliert angenommen wird, sind für die Anregung nur die Autoleistungsspektraldichten ungleich Null, [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{FF}\end{array} //]]>$] erhält eine Diagonalform. ^[7] Die Diagonaleinträge in [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{FF}\end{array} //]]>$] sind konstant und haben den Wert $//<![CDATA[ \begin{array}{l}R_{uu}\end{array} //]]>$. Abgesehen von einem Skalierungsfaktor ist die Leistungsspektraldichte damit lediglich von der Frequenzantwortfunktion abhängig.

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[S_{yy}(\omega)] = [H(\omega)] R_{uu} [H(\omega)]^T\end{array} //]]>$

In diesem Fall enthält die Leistungsspektraldichte der Antwort dieselben Informationen wie die Frequenzantwortfunktion und kann analog zu dieser durch eine Partialbruchzerlegung ausgedrückt werden:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[S_{yy}(\omega)] = \sum_{r = 1}^{N_m} \frac{\phi_r \gamma_r^T}{i \omega - \lambda_r} + \frac{\phi_r^{*} \gamma_r^H}{i \omega - \lambda_r^{*}} + \frac{\gamma_r \phi_r^T}{-i \omega - \lambda_r} + \frac{\gamma_r^{*} \phi_r^H}{-i \omega - \lambda^{*}_r}\end{array} //]]>$

Der direkte Vergleich mit der Modalform der Frequenzantwort zeigt, dass aus der Leistungsspektraldichte der Antwort dieselben Informationen gewonnen werden können, wie aus der Frequenzantwort, nämlich Eigenfrequenzen, Dämpfung und Eigenschwingformen. Mit einer Ausnahme jedoch: nachdem die Anregung nicht gemessen wird, können die Modalformen bei der Betriebsschwingungsanalyse nicht skaliert werden.

Die Polform der Leistungsspektraldichte weist für jede Mode vier Pole auf, die aus komplex konjugierten Paaren bestehen. Es werden daher zur Berechnung dieser Pole ein Gleichungssystem benötigt, die die zweifache Dimension des Systems der Frequenzantwortfunktionen aufweist. Dieser Nachteil kann umgangen werden, wenn lediglich das positive Halbspektrum verwendet wird. ^[1]

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[S_{yy}(\omega)] = \sum_{r = 1}^{N_m} \frac{\phi_r \gamma_r^T}{i \omega - \lambda_r} + \frac{\phi_r^{*} \gamma_r^H}{i \omega - \lambda_r^{*}}\end{array} //]]>$

Auf diesem Halbspektrum basieren die meisten Algorithmen zur Identifikation der modalen Parameter im Frequenzraum. ^[3]

Extraktion modaler Parameter

Um in der Betriebsschwingungsanalyse die modalen Eigenschaften, also die Eigenschwingformen eines Systems zu bestimmen, wurden im Laufe der Zeit eine Vielzahl von Verfahren entwickelt. Eine Unterteilung dieser Methoden kann danach erfolgen, ob die Auswertung der gemessenen Daten im Frequenzraum oder im Zeitraum erfolgt. Erstere verwenden im Wesentlichen das Spektrum, Halbspektrum oder die Leistungsspektraldichte der gemessenen Systemantwort. Verfahren im Zeitraum basieren direkt auf dem Zeitverlauf der Antwort oder ihrer Korrelationsfunktion. Zudem gibt es parametrische und nicht-parametrische Methoden. Parametrisch bedeutet dabei, dass das Modell auf die gemessenen Datensätze angepasst wird, bevor die Auswertung erfolgt. Dadurch erlangt man in der Regel bessere Ergebnisse, gleichzeitig sind entsprechende Verfahren jedoch komplexer und rechenintensiver. ^[2] Desweiten gibt es noch eine Reihe weiterer Kriterien, nach denen eine Einordnung der Methoden erfolgen kann. Ein Überblick ist dazu in ^[2] zu finden.

Methoden im Frequenzbereich: Frequency Domain Decomposition Method

Im Gegensatz zur Peak-Picking-Methode lässt sich die Frequency Domain Decomposition Method (FDD) auch bei Systemen anwenden, deren Eigenschwingformen eng beieinander liegen. Die Methode erlaubt es zudem, die Anzahl der dominanten Moden bei einer bestimmten Anregungsfrequenz zu bestimmen und bietet die Möglichkeit, modale Dämpfungsparameter zu ermitteln. ^[1]

Die Methode basiert dabei auf der oben eingeführten, modalen Zerlegung der Systemantwort in die Modalmatrix [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\phi\end{array} //]]>$], die die Eigenschwingungsformen des Systems enthält und den Vektor der modalen Koordinaten $//<![CDATA[ \begin{array}{l}p(t)\end{array} //]]>$.

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}y(t) = [\phi] p(t)\end{array} //]]>$

Die Matrix der Leistungsspektraldichten der Antwort lassen sich aus der Fourier-Transformierten der Korrelationsfunktionen berechnen:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[R_{yy}] = E [y (t + \tau) * y(t)^T] = [\phi][R_{pp} (\tau)][\phi^T] \multimap [S_{yy}(\omega)] = [\omega][S_{pp}(\omega)][\phi]^H\end{array} //]]>$

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{pp} (\omega)\end{array} //]]>$ ist dabei die Spektraldichte der modalen Koordinate.

Sofern die modalen Koordinaten unkorreliert sind, hat [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{pp} (\omega)\end{array} //]]>$] eine Diagonalstruktur, d.h. alle Werte außerhalb der Diagonalen sind Null. [2] Die sich so ergebende Matrixstruktur findet man wieder, wenn für [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{yy} (\omega)\end{array} //]]>$] eine Singulärwertzerlegung für eine bestimmte Frequenz durchgeführt wird. Bei der Singulärwertzerlegung (SVD) handelt es sich um die allgemeine Form der Eigenwertzerlegung für rechteckige Matrizen. Damit lässt sich [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{yy} (\omega)\end{array} //]]>$] faktorisieren:

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}[S_{yy} (\omega)] = [U] [\Sigma] [U]\end{array} //]]>$

Die sich so ergebende Matrixstruktur findet man wieder, wenn für [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{yy} (\omega)\end{array} //]]>$] eine Singulärwertzerlegung für eine bestimmte Frequenz durchgeführt wird. Bei der Singulärwertzerlegung handelt es sich um die allgemeine Form der Eigenwertzerlegung für rechteckige Matrizen. Damit lässt sich [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_{yy} (\omega)\end{array} //]]>$] faktorisieren:

[$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Sigma\end{array} //]]>$] enthält dabei auf ihrer Diagonalen in absteigender Ordnung die singulären Werte, [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}U\end{array} //]]>$] die singulären Vektoren. Der direkte Vergleich mit der Modalzerlegung zeigt, dass die einzelnen singulären Werte der SVD ein Maß für den Beitrag der einzelnen Eigenschwingformen zur gesamten Systemantwort aufgefasst werden können. Die singulären Vektoren stellen die Eigenschwingformen des Systems dar. Das System kann also mittels der SVD in soviele Einmassenschwinger zerlegt werden wie das System Freiheitsgrade besitzt und das Zusammenwirken dieser durch die modalen Koordinaten in Form von [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Sigma\end{array} //]]>$] ausgedrückt werden. Nachdem in dieser Matrix die singulären Werte in der absteigender Reihenfolge geordnet sind, enthält für ein $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\omega\end{array} //]]>$, welches einer Resonanzfrequenz nahe ist, der erste Eintrag die Information über die dominante Mode für dieses $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\omega\end{array} //]]>$. Die Anzahl der Elemente auf der Diagonalen von [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Sigma\end{array} //]]>$], die ungleich null sind bestimmt den Rang von [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}S_yy (\omega)\end{array} //]]>$]. Der Rang wiederrum gibt die Anzahl der Moden an, die in der Systemantwort auf eine bestimmte Frequenz $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\omega\end{array} //]]>$ dominant sind, womit beispielsweise nahe beieinander liegende Moden identifiziert werden können. ^[2]

Abschätzung der modalen Dämpfungsparameter

Modale Dämpfungsparameter können grundsätzlich sowohl in der Peak-Picking oder der FDD-Methode bestimmt werden. Die Grundidee ist dabei, die Leistungsspektraldichte um eine Resonanzstelle herum einer äquivalenten Leistungsspektraldichte eines entsprechenden Einmassenschwingers zuzuordnen und in den Zeitbereich zurück zu transformieren. Nachdem die Peak-Picking Methode lediglich als schnelles Werkzeug, um die Eigenfrequenzen eines Systems zu überprüfen, anzusehen ist, wird die Bestimmung der modalen Parameter am Beispiel der FDD geschildert. Ist für eine Resonanzfrequenz lediglich eine Mode dominant, so können die singulären Werte von [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Sigma\end{array} //]]>$] um diese Resonanzstelle herum einer äquivalenten SDOF-Leistungsspektraldichte zugeordnet werden. Das entscheidende Kriterium dabei ist, dass alle diese Werte einen ähnlichen singulären Vektor gemein haben. Ein Maß hierfür kann das MAC Rejection Level sein. ^{[2] [1]} Dabei handelt es sich um eine Kohärenzfunktion, mit welcher die Korrelation von Schwingformen $//<![CDATA[ \begin{array}{l}u_j\end{array} //]]>$ mit der an der Resonanzstelle $//<![CDATA[ \begin{array}{l}k\end{array} //]]>$ geschätzen Eigenmode $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\hat{\Phi}_k\end{array} //]]>$ überprüft wird.

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}MAC(u_j, \hat{\Phi}_k) = \frac{|u_j^H \hat{\Phi}_k|}{(u_j^H u_j)(\hat{\Phi}_k^H \hat{\Phi}_k}\end{array} //]]>$

Die Kohärenzfunktion kann dabei Werte zwischen 0 und 1 annehmen, wobei die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, wenn das $//<![CDATA[ \begin{array}{l}MAC\end{array} //]]>$ Null ergibt. Wenn der Wert 1 ist, unterscheiden sich die Vektoren lediglich durch einen Skalierungsfaktor. Zur Identifikation der Matrixeinträge, die in die äquivalente Leistungsspektraldichte eingehen sollen, wird beim $//<![CDATA[ \begin{array}{l}MAC\end{array} //]]>$ oftmals eine untere Grenze von 0,8 gewählt (Magalhães und Cunha 2011). Für die verschiedenen Frequenzen werden dann jeweils der singuläre Eintrag von [$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Sigma\end{array} //]]>$] ausgewählt, für den das MAC aus dem zugehörigen singulärer Vektor und der Eigenmode $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\hat{\Phi}_k\end{array} //]]>$ einen Wert größer 0,8 liefert.

Die daraus gewonnene äquivalente Leistungsspektraldichte des Einmassenschwingers kann über eine inverse Fourier-Transformation in den Zeitbereich überführt werden. Man erhält eine genäherte Korrelationsfunktion des entsprechenden Einmassenschwingers.

Dabei kann sich zunutze gemacht werden, dass die Korrelationsfunktion der Systemantwort für weißes Rauschen der für eine Impulsanregung entspricht. Die Impulsantwortfunktion ist gegeben zu $//<![CDATA[ \begin{array}{l}y(t) = a * e^{-\xi_k \omega_k t} sin(\omega_k t)\end{array} //]]>$ ^[1]

Indem die Exponentialfunktion den lokalen Maxima der Korrelationsfunktion angepasst wird, lässt sich bei bekannter Eigenfrequenz $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\omega_k\end{array} //]]>$ der modale Dämpfungskoeffizient $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\xi_k\end{array} //]]>$ bestimmen. Dazu kann die Eigenfrequenz des Systems aus dem Abstand der Nulldurchgänge der Korrelationsfunktion im Zeitbereich gewonnen werden. Werden modale Dämpfungsparameter abgeschätzt, wird das entsprechende Vorgehen in der Literatur auch Enhanced Frequency Domain Decomposition (EFFD) genannt.

Methoden im Zeitbereich: SSI-COV

Eine verbreitete Methode im Zeitbereich ist die sogenannte Covariance driven stochastic subspace identification method (SSI-COV). Nachdem der Erwartungswert der gemessenen Signale als Null angenommen wird, entspricht die Kovarianz der Korrelation. Es kann mit dieser Methode daher ein stochastisches Zustands-Modell aus der Korrelationsmatrix der gemessenen Systemantwort gewonnen werden. Aus den Matrizen, die das stochastischen Zustandsmodell beschreiben, können dann wiederum die modalen Parameter wie Eigenfrequenz und Dämpfungsparameter bestimmt werden. Näheres dazu ist beispielsweise in ^[8] und ^[1] zu finden.

Abschätzung des Scaling Factors

Wie bereits oben erwähnt können mit der Betriebsschwingungsanalyse zunächst nur unskalierte Eigenschwingformen ermittelt werden. Dies liegt darin begründet, dass der Skalierungsfaktor von der Anregungskraft abhängt, die bei der Betriebsschwingungsanalyse nicht gemessen wird. Die Frequenzantwortfunktion kann daher nicht ohne weiteres bestimmt werden, womit beispielsweise die Schwingantwort des Systems nicht aus den Eigenformen rekonstruiert werden kann. Auch benötigen einige Verfahren zur Schadensdetektion skalierte Eigenmoden. Inzwischen gibt es allerdings einige Techniken, die es ermöglichen, masse-normierte Eigenschwingformen zu bestimmen. Dazu werden Änderungen an der Masse und/oder der Steifigkeit des Systems in den einzelnen Messpunkten vorgenommen. Die modalen Parameter werden vor und nach der Modifikation des Systems bestimmt und aus der Änderung dieser Werte schlussendlich Skalierungsfaktoren bestimmt. Im Bauwesen sind Änderungen an der Masse meist leichter zu realisieren, das Vorgehen beschreibt beispielsweise ^[9] für eine Stahlbetonbrücke. Ein genereller Überblick über die Thematik ist in ^[2] zu finden.

Anwendung der Betriebsschwingungsanalyse bei Windenergieanlagen

Die Betriebsschwinganalyse wird in den letzten Jahren auch vermehrt bei Windenergieanlagen eingesetzt. ^[7] verwenden die mithilfe von SSI-COV ermittelten Schwingungszustände zum Abgleich mit einer FE-Simulation und damit zu einer Optimierung des Strukturentwurfs. Auch wird die Betriebsschwinganalyse für die autonome Schadenserkennung an Windkraftanlagen erprobt. (Friedmann et al.) beschreibt, wie er an einem verkleinerten Modell dadurch einen Verlust der Gründungssteifigkeit oder eine Reduzierung der Steifigkeit des Turms identifizieren kann. Dazu verwendet er die Krümmung der Eigenschwingkurven, die mit der Betriebsschwinganalyse ermittelt wurden. Die Krümmung, die zwischen zwei Knoten durch den Differenzenquotienten zweiter Ordnung angenähert werden kann, wird als Maß für die Formänderungsenergie angesehen. Eine Änderung der Verteilung der Formänderungsenergie wird als Hinweis auf eine Schädigung aufgefasst. ^[10] beschreiben die Langzeitüberwachung einer Offshore-Windturbine vor, mit der im geparkten Zustand die modalen Parameter mittels SSI-COV zuverlässig bestimmt werden konnten.

Die konkrete Anwendung der Betriebsschwingungsanalyse stellt jedoch bei Windkraftanlagen - vor allem im Betrieb - eine besondere Herausforderung dar. Dies liegt in einer Reihe von Problemen begründet, die teilweise die Grundannahmen der Betriebsschwinganalyse betreffen und im Folgenden kurz dargelegt werden sollen. Auch wenn Windturbulenzen quasi als zufallsverteilt angesehen werden können, so enthält die aus dem Wind resultierende Anregung harmonische Komponenten, die jeweils als ganzzahliges Vielfaches der Frequenz der Rotordrehung auftreten und die Systemantwort dominieren können. ^[11] Dadurch kann die Annahme der Betriebsschwinganalyse verletzt werden, dass eine eingeschwungene zufällige Anregung vorherrscht, die alle Frequenzen des Spektrums hinreichend anregt. Die harmonischen Komponenten der Anregung können im ungünstigen Fall mit den Eigenfrequenzen des Systems zusammenfallen und die Messergebnisse verfälschen. Um diesem Problem beizukommen, kann die Betriebsschwinganalyse für unterschiedliche Rotorgeschwindigkeiten durchgeführt werden um entsprechend verfälschte Ergebnisse zu identifizieren. Alternativ schlagen ^{[12] [13]} einen Ansatz vor, mit dem auch harmonische Anregung nahe von Eigenfrequenzen eines Systems berücksichtigt werden kann. ^[14] stellt Methoden vor, um harmonische Schwingungsanteile, die aus dem Betrieb des Getriebes resultieren, im Pre-Processing der Daten zu entfernen, weist aber gleichzeitig darauf hin, dass dies noch mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden ist.

Ein weiteres Problem betrifft die Grundannahme eines linearen und bezüglich der Zeit invarianten Systems. Tatsächlich aber variiert zum einen die Dämpfung des Systems. Bei Rotorblättern einer Windkraftanlage setzt sich die Dämpfung aus einer strukturellen Komponente und zusätzlich im Betrieb aus einer aerodynamischen Komponente zusammen. ^[15] Der aerodynamische Anteil macht dabei den Hauptanteil der Dämpfung aus und variiert mit den Betriebsbedingungen, da der Angriffswinkel des Windes auf die Rotorblätter unter anderem von der Windgeschwindigkeit und der Frequenz der Rotordrehung abhängt. Zum anderen variiert auch die Steifigkeit des Systems, je nachdem in welchem Winkel die Rotorblätter je nach Windgeschwindigkeit und Frequenz der Rotordrehung stehen. ^[15] Auch die zyklische, durch die Drehung des Rotors bedingte Veränderung des azimuthalen Winkels der Rotorblätter beeinflusst die Steifigkeit. Letzterem Effekt kann über eine sogenannte Coleman- oder auch Multiblade Coordinate Transformation (MBC) beigekommen werden, womit das bewegte Koordinatensystem der Rotorblätter in einen starren Referenzrahmen transformiert werden kann. ^{[15] [7]} Um dem generellen Problem der Zeitvarianz Rechnung tragen zu können, legen ^[16] dar, wie modalen Parameter an einem solchen System bestimmt werden könnten. Bei Turbinen von Windkraftanlagen existieren oftmals viele Moden mit einer hohen aeroelastischen Dämpfung. Diese Eigenschwingformen sind meist nur schwer ermittelbar, im Besonderen die modale Dämpfung. Um die Schätzung der Dämpfung zu verbessern, können längere Zeitreihen gemessen werden, was jedoch dazu führen kann, dass sich in dieser langen Zeitspanne die Randbedingungen ändern und damit die Annahme eines bezüglich der Zeit invarianten Systems verletzt wird. ^[11]

Abgesehen von diesen Problemstellungen, die sich aus dem theoretischen Fundament der Betriebsschwinganalyse ergeben, stellt auch die Anordnung der Sensoren an den Rotorblättern eine Herausforderung dar. Rotorblätter sind meist nur an ihrem Fußpunkt zugänglich, Sensoren können daher nur dort platziert werden. Zudem werden Schleifkontakte benötigt und es muss die Anfälligkeit von Sensoren gegenüber elektromagnetischen Feldern berücksichtigt werden. ^[11]

Literatur

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